Üç Cisim Problemi Nedir?

Galaksimizdeki yıldızların çoğu ikili ya da üçlü sistemlerdir. Bizim gibi tek yıldızdan oluşan sistemler nispeten azdır. Gökyüzünde tek başınaymış gibi görünen çoğu yıldızın, teleskopla bakıldığında ikili ya da üçlü sistemlerden oluştuğu anlaşılır. Bu durum ufak bir dürbünle bile tespit edilebilir. Proxima Sistemi de aynı şekilde üç (belki de dört) yıldızdan oluşmaktadır. Hatta bazı astronomlar Güneş Sistemi’nin kendisinin de bir ikili yıldız sistemi olabileceğinden şüphelenir. Ancak şu ana kadar Güneş’in yol arkadaşı olabilecek bir yıldızın varlığına dair hiçbir delile rastlanmamıştır. Astronomlar, “Güneş’in eşlikçi bir yıldızı varsa bile Dünya’dan görünmeyecek denli uzakta, kahverengi bir cüce olmalıdır,” deyip konuyu kapatırlar.

Öte yandan herhangi bir yıldız sistemi, içinde barındırdığı gezegen, uydu, kuyruklu yıldız, asteroid, gaz ve tozla birlikte yüzlerce milyon cisimden oluşur. O hâlde 3 cisim diye sınırlandırmanın anlamı ne? Zaten matematikçiler buna üç cisim problemi yerine n cisim problemi demeyi tercih eder. Peki ama evrende üç cisim olarak adlandırılabilecek yalıtılmış bir sistem yoksa bu problem neyi anlatıyor?

Söz konusu durum, bazı teorik koşulların gerçekleşmesi hâlinde üç cisim problemi olarak adlandırılmaya hak kazanır. Bu koşullar, cisimlerin benzer büyüklükte ve birbirine yakın durduğu sistemler için geçerlidir. Naçizane üniversite yıllarımda bu üç cisim problemini kendi başıma (kısmen) keşfetmiştim. O zamanlar boş zamanlarımda bilgisayar laboratuvarında küçük Pascal programları yazıyordum. Yazdıklarım arasında basit (ama işleyen) bir oyun motoru, Mandelbrot kümesini görüntüleyen bir grafik arayüzü ve kütle çekim sistemlerini simüle eden bir program vardı. Tabii söylemeye gerek yok, bunlar basit programlardı; yine de laboratuvardaki birkaç arkadaşı meraklandıracak kadar ilginçlerdi. (Kuşkusuz ben de onların yazdığı programları hayran gözlerle izliyordum)

Güneş Sistemi simülatörüme beş adede kadar cisim ekleyebiliyordum. Amacım, tutarlı yörüngelerin oluşup oluşmayacağını görmeye çalışmaktı. Bu beş cisme farklı değerler atayarak denemeler yapıyordum. Her seferinde cisimlere farklı hız, konum ve kütleler vererek yörüngelerini hesaplatıyordum. Cisimleri, yıldız olarak seçtiğim büyük bir kütlenin etrafında yörüngeye sokmaya çalışıyordum (Yani gezegenlerin kütlesine 1 birim değer verirsem, yıldız olarak seçtiğim cisme 1000 birimlik kütle veriyordum). Sonuç olarak fizik kuralları şahane biçimde çalışıyor ve cisimler kendiliğinden eliptik yörüngelere giriyordu. Böylesi basit bir simülasyonun bile bir Güneş Sistemi yarattığını görmek, fiziğe olan saygımı arttırıyordu.

Sonra bir şey oldu. Simülasyonumu biraz daha zorlamaya karar verdim ve cisimlerin kütlelerini birbirine yaklaştırdım (Yani sisteme birden fazla yıldız koymuş oldum). İşte o zaman yörüngeler arapsaçına döndü. Garip şekiller oluştu. Cisimler sekizler çizdi, farklı hızlarla etrafa savruldu ve sonra geri dönüp diğerlerini yoldan çıkardı. Tabii benim bilgim ve anlayışım, bu gözlemden genel bir sonuç çıkaracak kadar derin değildi. Ben bunun düşük hassasiyetten kaynaklanan bir sonuç olduğunu düşündüm. Zaman aralığını daha kısa tutarsam ve virgülden sonra daha fazla basamak kullanırsam daha doğru sonuçlar alacağımı sandım.

Yıllar sonra öğrendim ki hata doğanın kendisinden kaynaklanıyormuş. Yani birbirine benzer kütleli ve yakın cisimlerin hareketleri, başlangıç koşullarına aşırı duyarlıymış (buna kaos teorisi deniyor). Büyük kütleli ve yakın cisimlerin tutarlı yörünge oluşturmamasını bir simülasyonda denemek başka şey, bunun analitik çözümünün olmadığını matematiksel anlamda ispatlamak başka bir şeydir. Birincisi oyuncakla oynamaya benzer (simülasyonlar bir tür oyuncaktır), ikincisi ise matematik bilgisi ve derin bir düşünme yeteneği gerektirir.

Güneş Sistemi’ndeki gezegenlerin yörüngesini anlamak isteyen Newton, problemi denklemlerle ifade etmesi gerektiğini kavradı. Böylece denklemlerini yazdı ve çözdü. Sistemde yalnızca iki cisim olduğunu kabul ettiğinde çözüme ulaşabiliyordu. Tüm fizikçiler anlamaya çalıştıkları sistemi basit bir kutu içindeymiş gibi düşünür. Bu kutunun içindeki cisim ve etkileşim sayısını azaltabildikleri kadar azaltırlar, uzay ve zamanı sınırlandırırlar, sonuca fazla etki etki etmediğini düşündükleri faktörleri yok sayarlar. Newton da böyle yaptı. Gezegenlerin yörüngesini anlamak için (daha doğrusu bu yörüngelerin elipse benzediğini kanıtlamak için) sistemi basitleştirdi. İki cisim arasında yalnızca bir tür etkileşim olduğunu kabul etti ve buna da kütle çekim kuvveti dedi. Gökcisimlerini kütlesinden başka özelliği olmayan küreler olarak düşündü. Ayrıca uzayı da düz kabul etti, zamanın uzaydan bağımsız olduğunu varsaydı, kütlelerin birbirini uzaktan etkileyebileceğini ve bu etkileşimin ani olduğunu farz etti.

Bu kabulleri yaparken içi pek rahat değildi aslında. Ünlü eseri Principia Mathematica’da kütle çekim kuvvetinin boş uzayda nasıl yayıldığı, arada hiçbir ortam yokken iki cismin birbirini nasıl çektiği gibi konuların açığa kavuşturulması gerektiğini yazdı. Ayrıca bir etkileşim nasıl ani olabilirdi? Bir etkinin uzayda bir noktadan diğerine iletilebilmesi için arada bir ortam bulunması ve etkinin aradaki noktalardan sırasıyla ve belli bir hızla yayılması gerekirdi, birbirini deviren domino taşları gibi… Sonradan Einstein, evrende hiçbir etkileşimin ‘ani’ olamayacağını, en fazla ışık hızında olabileceğini ilan etti. Bu şüpheler Newton’u durdurmadı. Kendi belirlediği koşullar altında bir gezegenin yörüngesinin elips olması gerektiğini iki farklı yolla ve matematiksel olarak ispatlamayı başardı.

Mühendislik okumuş her öğrenci, değişim ve etkileşim içeren tüm sistemlerin diferansiyel denklemlerle modellenebileceğini bilir. Tek yapması gereken birkaç denklem yazmak ve başlangıç koşullarını belirlemektir. Sonrası öğrencilerin kısaca “dif” dediği derste öğretilen yöntemleri kullanarak söz konusu diferansiyel  denklem sistemini çözmektir. Burada çözüm derken, bilinen analitik fonksiyonlardan bahsediyoruz. Yani bir diferansiyel denklemin çözümünün bir analitik fonksiyon olmasını isteriz. Mesela çözüm ikinci dereceden iki bilinmeyenli bir polinom ise bu duruma çok seviniriz. Eğer çözüm bir trigonometrik fonksiyonsa biraz daha az seviniriz ama yine de yüzümüz güler.

Newton denklemlerini yazdı, ardından da çözümü buldu. Yine de kafasına takılan bazı sorular vardı. Principia adlı kitabında kabaca şunu yazmıştı: “Ben iki cisimden oluşan sistemin çözümünü buldum. Ama üç cisimden oluşan bir sistemin çözümünün nasıl olabileceğini bilmiyorum.” Bu problem Newton’un mirası olarak birçok matematikçi tarafından çözülmeye çalışıldı, ama başarılamadı. Söz konusu sistemi ifade eden diferansiyel denklemleri herkes yazabiliyordu. Bu işin kolay kısmıydı. Sorun, bu sistemin analitik bir çözümünün bulunamamasıydı. Eğer bir çözüm varsa, bu basit bir fonksiyon değildi (Polinom, trigonometrik ya da logaritmik vs.). Nihayet Poincare adlı büyük matematikçi, üç cisimden oluşan bir kütle çekim sistemini ifade eden diferansiyel denklemin analitik çözümünün olmadığını ispat etti. Bu problem, üç cisim problemi olarak anıldı ve kaos teorisinin başlangıç kuramı olarak kabul edildi.

Kaos içeren sistemlerin analitik çözümü yoktur. Çünkü bu çözüm, başlangıç koşullarına aşırı duyarlıdır. (Hatırlarsanız fizikçilerin kuram geliştirirken yazdıkları matematiksel modeller, değişimleri ve etkileşimleri ifade eden diferansiyel denklemler ile sistemin başlangıç koşullarını içermekteydi) Kaotik sistemlerde başlangıç koşullarında yapılacak küçücük bir değişiklik bile bambaşka çözümlerle sonuçlanır. Daha sonra Kaos Teorisi üzerinde yapılan çalışmalar, bu kuramın bilgi eksikliğinden ya da yetersiz hesaplamadan kaynaklanmadığını ortaya koydu. Hatta sonradan birçok kaotik sistem keşfedildi (Lorenz çekerleri, fraktallar, üç kollu sarkaçlar, sivri ucu üzerinde dengede tutulmaya çalışılan kurşun kalemler vb).

Buraya kadar takip edebildiyseniz kendinizi kutlayabilirsiniz. İkinci seviyeye ulaştınız. Şu ana kadar fizikçilerin sistemlerin basit modellerini yapmak için diferansiyel denklemler yazdıklarını, sonra da bu denklemleri çözdüklerini öğrendiniz. Eğer bir sistem kaotik ise bu sistemin analitik çözümü bulunamaz ya da bu çözüm başlangıç koşullarına aşırı duyarlıdır.

Üçüncü seviyeye geliyoruz. Çözüm için başka bir yol yok mu?

Örneğin yörüngeyi kaba kuvvetle hesaplayamaz mıyız? Böyle durumlarda nümerik analiz denen bir yöntemler silsilesini kullanırız. Adı korkutucu gelse de esası oldukça basittir. Her sınıfta problemleri kafadan değer vererek çözen bir öğrenci bulunur. Bu öğrenci bazen başarılı olur ve “Hocam sizin uğraşarak yaptığınız soruyu ben kafadan değer vererek çözdüm. X’e 2 değerini verirsek oluyor,” diye öğretmenini bozar. Öğretmen de şöyle yanıt verir: “Bu kolay bir problemdi, o yüzden çözebildin. Cevap 221 olsaydı ne yapacaktın? Tüm sayıları deneyecek miydin?” Öğrenci üstünlüğü elden bırakmak istemez. “Onu sormazlar bize hocam!” der. Öğretmen tecrübesini konuşturur: “Cevap kök iki artı beş falan olsaydı nasıl bulacaktın onu?”

Elimizde bilgisayarlar varsa kaba kuvvete baş vurabiliriz. Bu yöntemlerden biri de Newton’a aittir (Yine mi Newton!). Newton metodu olarak adlandırılan bu yöntemde bir denklemin kökünü bulmak için türev kullanılır (Sonuç olarak bu da deneme yanılma yöntemidir ama eğer problem uygunsa sonuca birkaç adımda ulaşılır). Üçüncü seviyede bunu yapmaya çalışıyoruz. Nümerik analizle (yani kaba hesaplama ile) yörüngeleri hesaplamaya uğraşıyoruz ve görüyoruz ki üç cisim problemi buna izin vermiyor. Yani başlangıç koşullarında küçük bir değişiklik bile yapsak, sonuç bambaşka yerlere gidiyor. O hâlde üç cisim probleminin bir çözümü olmadığını kabul etmeliyiz ve gezegenimizden kaçmalıyız!

Sorun şu ki, madem n cisim problemi çözümsüz, o hâlde yıldız sistemleri nasıl var olabiliyor?

Bu sorunun yanıtı basittir: Bizim sistemimiz (Güneş Sistemi) içinde devasa bir cisim barındırıyor. Bu devasa cismin yanında diğer cisimler o kadar küçük kalıyor ki sivrisinek pozisyonundalar ve bu da sistemi kararlı hâle getiriyor. Sayılarla ifade etmek gerekirse, Güneş Sistemi’nin kütlesinin %99,999’u (yani pratik olarak tamamı) Güneş’te toplanmıştır. Geri kalan tüm gezegen, uydu, kuyruklu yıldız, asteroid, gaz ve tozun toplam kütlesi, sistemin kütlesinin binde birinden azdır. Elbette böyle bir sistem kararsız (kaotik) olamaz. Yeri gelmişken belirtelim, Proxima Centauri sisteminin üç cisim problemi yaşadığına dair elimizde kanıt yok. Büyük ihtimalle üç yıldız birbirlerine yeterince uzakta. Bu durum da sistemi kararsızlıktan kurtarıyor olabilir.

Astronomlar, birden fazla yıldıza sahip sistemlerin kararlı olup olmayacağını, yani etraflarında kararlı yörüngelere sahip gezegenler bulunup bulunmayacağını tartışmış ve her ne kadar üç cisim probleminin çözümü yoksa da bazı özel durumlarda bir çözüm olabileceği sonucuna varmıştır. Eğer iki yıldız birbirine çok yakınsa ve gezegen de bu yıldızlara çok uzaksa, o zaman iki yıldızı tek bir yıldız gibi düşünebiliriz. Gezegen de nispeten kararlı bir yörüngeye sahip olabilir. Bir başka durum da yıldızların birbirine yeterince uzak, gezegenin ise yıldızlardan birine çok yakın olmasıdır. Bu durumda gezegen yıldızlardan birinin etrafında döner, diğerinin etkisini pek hissetmez. Tabii bu etki uzun vadede gezegenin yörüngesinde bazı değişiklikler yapabilir ama bu ölümcül olmak zorunda değildir (diğer yıldız çok sönüktür mesela).

Başka çözümler de vardır; gezegenin iki yıldız etrafında sekiz çizmesi gibi… Ancak bu çözümler iğne deliği çözümlerdir; yani birçok şanslı tesadüfün bir araya gelmesine bağlıdır. Son olarak şöyle bir çözüm de düşünülebilir: Yıldızlar kütlece aşağı yukarı birbirine eşittir ve gezegen de ortada, yıldızlara göre hareketsiz durmaktadır. Böyle bir gezegende gece hiç yaşanmayacaktır; çünkü bir tarafını bir yıldız, diğer tarafını öteki yıldız aydınlatacaktır.

Normal şartlarda gezegenlerin konumlarını bir miktar oynatmak büyük resmi değiştirmez, çünkü gezegenler küçük cisimlerdir ve birbirlerine de hayli uzaktırlar. Cisimler ancak birbirine yakın büyüklükte olduğunda kaotik durum ortaya çıkar. Yoksa Güneş Sistemi çoktan darmadağın olurdu. Oysa Güneş Sistemi’nin hareketleri büyük bir kesinlikle tahmin edilebilmektedir. Eğer Jüpiter ve Satürn, Güneş’le kıyaslanabilir büyüklükte cisimler olsaydı, o zaman kaotik yörüngeler ortaya çıkardı ve Güneş Sistemi’nin hiçbir yerinde yaşam evrimleşemezdi. Şu da var ki, günümüzde geçerli olan kuram Newton’un kütle çekim kuramı değil, Einstein’in genel görelilik kuramıdır.

Üç cisim problemi bu aralar epey gündemde. Bunun sebebi de Çinli yazar Liu Cixin‘in ödüllü bilimkurgu üçlemesine dayanan popüler bir Netflix dizisine imza atılması. Oysa üç cisim problemine değinen, hatta kurgusunu buna dayandıran bir başka eser daha vardır: Stanislaw Lem’in yazdığı Solaris… Solaris gezegeni bir çift yıldız etrafında dolanır. Kendisi de büyük bir gezegen olduğundan, yörüngesi kaotiktir. Gezegen, yörüngesini hesaplamak ve düzeltmek için devasa bir beyin evrimleştirmiştir. Yani tüm gezegen dev bir bilgisayardır (ya da beyin) ve bu beynin tek fonksiyonu, yörüngeyi hesaplamaktır. İnsanlar Solaris’teki okyanusla iletişim kurmaya çalışır ama okyanus otistik olduğundan; yani yörünge hesabı dışında hiçbir şeyle ilgilenmediğinden insanların iletişim kurma çabalarına yanıt vermez. İnsanlar onu iletişim kurmaya zorlamak için zararlı x-ışınlarını kullandığında okyanus uyanır ve insan ruhunu analiz ederek onları etkisiz hâle getirecek yaratıklar (nötrinolardan yapılmış hayaletler) musallat eder başlarına.

Görüldüğü gibi kararsız yörüngeli bir gezegen üzerinde yaşamın nasıl olabileceğine dair Lem’in çözümü, gezegenin kendi kendine yörüngeyi hesaplayıp düzeltebilecek zihinsel güce sahip olmasıdır. Lem, böyle bir varlığın nasıl evrimleşmiş olabileceğini bize açıklamaz. Okyanus sadece ‘vardır’, o kadar. Yörünge kararsızlığına Liu Cixin’in bulduğu çözüm daha mantıklıdır. Cixin, gezegende yaşayan canlıların bu duruma uyum sağlamış olduğunu düşünür. Uyum sağlama yöntemlerini ise “Birimiz kurtulursa, hepimiz kurtuluruz,” mottosuyla özetler. Kötü zamanlar geldiğinde canlılar kendilerini kurutur, koşullar düzeldiğinde ise kurtulanlar kurumuş olanları sulayarak hayata döndürür.

Bu çözüm ilk bakışta mantıklı görünse de şöyle bir sorun içerir: Canlıların böylesi bir gelişmişlik seviyesine ulaşması için olağanüstü bir hızla evrimleşmiş olmaları gerekir. Oysa kaotik bir sistemde buna izin verecek koşullar hiçbir zaman oluşmayacaktır. Yaşam ortaya çıksa bile bakteri seviyesinden öteye geçemez. Nitekim, kendi gezegenimiz olan Dünya’da ilk bir milyar yıl canlılıktan iz yoktur. Sonraki iki milyar yıl boyunca sadece bakteriyel hayat vardır. Bildiğimiz anlamda çok hücreli gelişmiş yaşam sadece son yarım milyar yılda evrimleşmiştir (Kambriyen patlaması denen dönem). Kambriyen öncesinde çok hücreli yaşam denemeleri olduysa da çok ileri gidememiştir.