Kurt Gödel ve Eksiklik Kanıtı

Bu yazıda Gödel’in Eksiklik kanıtını elimden geldiğince basit bir şekilde açıklamaya çalışacağım.

Kurt Gödel, hiç bir matematik sisteminin tam olamayacağını söyleyen kanıtıyla ün kazanmıştır. Bu kanıta göre, sınırlı bir aksiyomlar(*) kümesiyle başlayan herhangi bir mantıksal sistem (matematik), zorunlu olarak sistem içinde ispatlanamayan ama doğru olan önermeler içerecektir. (**) Gödel şunu da gösterdi: Bir matematik sistemine ait Gödel tipi önermeleri, sisteme aksiyom olarak eklemekle o sistem tamamlanamaz; çünkü, eklenen aksiyomlar, yeni bir matematik sistemi oluşturacak ve bu yeni sistem de kendi Gödel tipi önermelerini içerecek, yani yine eksik kalacaktır.

Anlaşıldığı kadarıyla, sınırlı bir aksiyom kümesi ile bütün matematiksel ve mantıksal doğrulara ulaşmak mümkün olmuyor. Ancak, sonsuz bir aksiyom kümesiyle başlandığında, eksik olmayan bir matematik sistemi inşa edilebilir. Gödel kuramı gerçeğin hep eksik olduğunu ima etmez. Çünkü bir sistem içinde ispatlanamayan önermeler, başka bir sistemde ispatlanabilir. Gödel kuramı sadece şunu söyler: Bütün doğru önermeleri içeren mutlak bir doğruluk sistemi (matematiği) yoktur. Yani uzayın düz olduğunu söyleyen Öklit Geometrisi ne kadar eksikse, eğri olduğunu söyleyen Riemann Geometrisi de o kadar eksiktir ve gerçek ancak farklı sistemlerin birlikte ele alınması ile tam olarak anlaşılabilir.

Gödel’in son derecede soyut matematiğinin ayrıntılarına girmeden, onun ne demek istediğini şöyle bir örnekle açıklamaya çalışalım.

Diyelim ki elimizde sadece 4 sayı var: {1, 2, 3, 5}. Bu bizim aksiyom kümemiz olsun. Şimdi bir de çıkarım kuralına ihtiyacımız var, o da çarpma işlemi olsun. Yani bu örnekte A = {1, 2, 3, 5} bizim aksiyom kümemiz oluyor. Çıkarım kuralımız ise × işlemi… A kümesi ile ­× işlemi birlikte bir matematik sistemi oluşturur. Bu sisteme kısaca S diyelim. Şimdi, sayıları birer önerme kabul edelim ve S içinde herhangi bir önermenin nasıl ispatlandığını görelim. Örneğin;

10 = 2×5

6 = 2×3

8 = 2×2×2

16 = 8×2

30 = 3×10 vs.

Görüldüğü gibi S içinde ispatlanabilen sonsuz sayıda önerme vardır. (Bu örnekte önermelerin sayı olduğunu unutmayalım.)

S’de ispatlanabilen bütün önermelerin kümesi Ö olsun. Bu durumda:

Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … } olacaktır.

Şimdi “S sistemi tam mıdır?” sorusunu soralım. Tam olmadığını hemen görebiliriz. Çünkü Ö kümesi mesela 7’yi içermemektedir. (Çünkü 7 sayısı hiç bir şekilde 1, 2, 3 ve 5 sayılarının çarpımı ile elde edilemez.) Peki ya 7’yi A kümesine eklersek… Bu durumda A = {1, 2, 3, 5, 7} olacaktır. Şimdi, artık Ö kümesi 7’yi içerecektir. Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….}

Şimdi S tam oldu mu? Yanıtımız: Maalesef, hayır! Ö kümesi hala 11 ve 17 gibi asal sayıları içermemektedir. Asal sayıların ne olduğunu bilenler, bu şekilde oluşturulan Ö’nün hiç bir zaman tam olamayacağını görebilir. S’nin tam olması için A’ya bütün asalları (ki sonsuz sayıdadırlar) eklememiz gerekir. Ama biz ne demiştik? Sonlu hiç bir matematik sistemi tam olamaz… İşte Gödel bunu kanıtlamak istiyordu.

Gödel kuramının felsefi anlamı derindir. Kuram bir çok düşünür, matematikçi ve bilgisayar bilimci tarafından halen tartışılmakta…

Gödel kuramının sonuçları şaşırtıcıdır. Şimdi size dinlerden bir örnek vermek istiyorum. Diyelim bir R dininin kutsal kitabı K olsun. Bu durumda R dinindeki bütün sevaplar (önermeler) K kitabından çıkarsanabilir mi? Gödel kuramı bunun yapılamayacağını söylüyor. Yani hiç bir K kutsal kitabı tam (eksiksiz) olamaz.

Peki, şimdi K kitabından mantık yoluyla çıkarılabilecek sevapların listesini yapmaya kalkıştığımızı düşünelim. Bir din alimi, K kitabını alır ve bu kitaptan kendince bir takım çıkarımlar yaparak A kitabını yazar. A’ya bir tefsir diyelim… A tefsiri, K kutsal kitabından elde edilmiştir. Bu şekilde başkaları da B, C, D, … tefsirlerini yazsın. Bu şekilde yazılan bütün tefsirlerin kümesine de de bir külliyat diyelim. Bu durumda L külliyatı, bütün tefsirlerin kaynağı olan kutsal K kitabı ile A, B, C, … tefsirlerinin birleşim kümesi oluyor.

Gödel kuramı bize hiç bir külliyatın bütün sevapları içeremeyeceğini söylüyor. Biraz umutsuz bir durum…

Bir başka örnek de bilgisayar bilimleri ve yapay zekâdan verilebilir. Diyelim ki A, bir algoritmalar kümesi ve X de A’yı uygulama yeteneğine sahip bir bilgisayar olsun. X’in nasıl bir bilgisayar olduğu önemli değil, ama çok gelişmiş bir bilgisayar olduğu kesin… Şimdi A kümesini X bilgisayarına yükleyelim ve ondan her şey hakkında düşünmesini isteyelim.

X bilgisayarı, düşünerek her şeyi keşfedebilir mi? Yani insanların yoktan düşünce ve fikir yaratma özelliğine sahip olabilir mi?

Gödel kanıtı bunun mümkün olmadığını söylüyor. Ama X’e benzer Y ve Z gibi başka bilgisayarların bir araya gelerek (yani birlikte hareket ederek) her şeyi düşünüp düşünmeyeceğini söylemiyor. Böyle giderse Gödel kuramı hepimizi şaşırtmaya devam edecek sanırım.

Bu noktada şu soruyu da yanıtlamadan yazıyı bitirmek istemiyorum. İnsanlar neden matematiğin tam olup olmadığını merak edip, araştırma ihtiyacı duydular? Daha doğrusu matematiğin bizzat kendisi nasıl oldu da matematiğin araştırma konusu haline geldi?

Aslında hikaye Antik Yunan‘ın ve belki de bütün tarihin en büyük matematikçisi olan Öklit ile başlıyor. M.Ö. 232 ile 275 yılları arasında yaşamış olan Öklit, kendi zamanına kadar olan bütün matematiği birleştiren bir sistem kurmuştur. (Bunu milattan 250 yıl önce yaptığına inanabiliyor musunuz?) Onun sistemine bugün Öklit Geometrisi ya da Düzlem Geometrisi diyoruz. Bu geometrinin sadeleştirilmiş hali halen liselerde okutulmaktadır. Öklit sistemini anlattığı Elementler adlı büyük bir kitap yazmış; bu kitap, tarihin en etkili bilimsel kitabı olmuştur. Elementler 2000 yıl boyunca Dünya’nın bütün üniversitelerinde okutulan bir ders kitabıydı.

Kitap, doğruluğu ispatsız kabul edilen beş postulat (aksiyom) ile başlıyordu. Postulatlarının seçimindeki isabet ve ispatların mükemmelliği ile kendi içinde tutarlı bir matematik sistemi yaratmayı başaran Öklit’in bu müthiş yapıtına binlerce yıl boyunca büyük bir hayranlık duyulmuştur. Ancak, paralelllik postulatı adı ile bilinen beşinci postulat, bir çok matematikçiyi rahatsız etmekteydi. Bu matematikçiler, beşinci postulatın apaçık olmadığına, diğer dördünden çıkarılabileceğine inanıyorlar ve bu postulatı diğerlerinden elde etmek için büyük bir uğraş veriyorlardı. (Bu konuda çalışanlar arasında Ömer Hayyam, İbn-i Haytam ve Nasirüddin Tûsi gibi matematikçiler de vardı.)

Ancak bu çabalar bir işe yaramadı. Beşinci postulat diğer dördünden elde edilemiyordu.

Sonradan matematikçiler (aralarında Gauss da vardır) bu postulatı değiştirmeyi denediler. Böyle yaptıklarında başka bir matematik sistemi doğduğunu büyük bir hayret ile gördüler. Hatta Gauss gibi ünlü bir matematikçi çalışmalarını yayınlamaya bile cesaret edemedi  –fikirlerinin kabul edilemeyecek kadar çılgınca olduğunu düşünmüştü. Bu yeni matematik sistemlerinde uzay düz değildi.

Günümüzde bu yeni geometrilere Eliptik ve Hiperbolik Geometri gibi isimler veriliyor. Bu yeni geometri sistemleri konusunda çalışan matematikçiler Lobaçevski ve Riemann gibi ünlü isimlerdir. Öklit’in elementler kitabı matematikçileri öylesine etkilemişti ki onun kullandığı sistem, matematiğin temel sistemi haline gelmiştir. Hatta bunun bir de adı var: Aksiyomatik Sistem. Çağdaş her matematikçi kendi matematiğini yaparken Aksiyomatik Sistem’i kullanır. Yani kendi aksiyomlarını ve çıkarım kurallarını kendisi yaratarak ortaya çıkan matematik sisteminin özelliklerini inceler. Öklik sistemi öylesine başarılıydı ki matematikçiler arasında bu sistemin tutarlılığına ve tamlığına yönelik büyük bir inanç kökleşmişti. Kimse bu yapıdan kuşkulanmıyordu. Bunlar arasında Hilbert de vardı.

Hilbert, bir gün bütün doğru önermeleri içeren büyük bir matematik sisteminin kurulabileceğine inanmaktaydı. Hatta bunu matematiğin son büyük problemlerinden biri olarak görmekteydi.

İşte bu noktada Gödel devreye giriyor. Gödel, sonlu bir matematik sisteminin tam olamayacağını kanıtlayarak, yüzyıla damgasını vurmuştur.

Bu tür konulara ilgi duyanlar “Gödel, matematik sistemler, Öklit Geometrisi, Öklit Dışı Geometriler, aksiyomatik sistemler, Gödel kanıtı, Eksiklik kanıtı, yapay zeka, beşinci postulat, parallellik postulatı” gibi anahtar kelimeleri taratarak daha fazla bilgiye ulaşabilirler.

(*) Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere aksiyom denir.

(**) Bu tip önermelere Gödel tipi önermeler denir.