Beyin Yakan Paradokslar #1

Sadık Efe Sarıtunalı 11 Eylül 2016 Araştırma 1 yorum

“Bildiğim tek şey hiçbir şey bilmediğimdir.” -Sokrates

Paradokslar “görünüşte doğru olan bir ifade veya ifadeler topluluğunun bir çelişki oluşturması veya sezgiye karşı bir sonuç yaratması” şeklinde sıkıcı bir tanımı olan eğlenceli şeylerdir. Bilimde, bilimkurguda, matematikte ve mantıkta (bazen de gazetelerin “Biraz da eğlenelim” köşelerinde) karşımıza çıkan paradoksları gerçek ve yalancı paradokslar olarak ikiye ayırabiliriz. Gerçek paradokslar çözülmesi imkansız olan önermelerdir. Örneğin Sokrates’in yukarıdaki cümlesi bir gerçek paradokstur

Cantor Paradoksu

Cantor paradoksu anlaması oldukça basit, çözümsüz (gerçek) bir paradoks. Adını Alman matematikçi Georg Cantor‘dan alan paradoks “sonsuzluk” kavramını yeniden sorgulatıyor. İki sonsuz kümemiz var. Bunlara A ve B kümeleri diyelim. Şimdi size “hangi küme daha büyüktür?” diye sorarsam tahminimce ikisinin de aynı büyüklükte olduğunu söylersiniz. Peki tam sayılar {0,1,2,3,4…} ve çift sayılar {0,2,4,6,8…} kümelerini karşılaştırırsak ne olur? İki küme de aynı büyüklükte midir? Yoksa tam sayılar kümesi mi daha büyüktür?

Aslında her iki küme de eşit sayıda eleman içeriyor! “Bir küme diğerini içeriyorsa nasıl eşit sayıda elemana sahip olabilirler?!” dediğinizi duyar gibiyiz. Ancak burada söz konusu olan kümeler sonsuz elemanlı olduğundan, bu mümkün olabiliyor.

Aslında bu hikayenin sadece bir kısmı. Cantor ve onun izinden giden matematikçiler, farklı tür sonsuzluklar olduğunu belirlediler. (Matematikte bunlara kardinalite deniyor.) Kardinalite sonsuz kümelerin büyüklüğünün bir ölçüsüdür. En küçük kardinalite $\aleph_0$ (alef sıfır) olarak adlandırılır ve bir sonraki kardinalite $\aleph_1$ (alef bir), ondan sonraki $\aleph_2$ (alef iki) vs. şeklinde devam eder. $\aleph_0$ ‘a sayılabilir sonsuzluk dendiği de olur. Doğal sayılar, çift sayılar, tek sayılar kümelerinin kardinalitesi hep alef sıfırdır. Yani bu kümeler eşit sayıda sonsuz eleman içerirler. (Birbirlerini kapsasalar bile…)

Alef bir sayılamayan bir sonsuzluk tipidir ve gerçek sayıların sayısı kadardır. İşin tuhafı, alef bir tipi sonsuzluğun alef sıfır tipi sonsuzluktan büyük olması… Bu ikisi arasında başka tip bir sonsuzluk (kardinalite) olup olmadığı bilinmiyor.

Dede Paradoksu

İkinci paradoksumuz bilimkurgunun en sevdiği paradokslardan. “Geleceğe Dönüş” filmi ile bir popüler kültür ürünü haline gelmiş olan dede paradoksu, bazılarına göre zaman yolculuğunun imkansızlığını ispatlıyor. Soru basit “Geçmişe gidip babanız doğmadan dedenizi öldürürseniz ne olur?”. Bu canice sorunun şu an için kesin bir cevabı olmasa da pek çok tahmin mevcut. Bir teoriye göre geçmişe gitseniz bile dedenizi öldürmeyi başaramazsınız. Çünkü siz zaman yolculuğu yapmadan yıllar önce zaten bunu deneyip başarısız olduğunuz için doğmuşsunuzdur.

Başka bir teori zaman yolcularının hiçbir şeye dokunamayacaklarını, yalnızca bir hayalet gibi görüp işitebileceklerini söylüyor. Ancak bu bilimsel olarak imkansızdır. Çünkü bir nesneyi görebilmemiz için nesneye çarpan fotonların sekip gözümüze çarpması gerekir. Yani fotonlara dokunuruz. Dokunamayacağımız bir şey gerçekten orada değildir. Dede paradoksu blok evren modeliyle de çözülebilir.

paradoks-4 — Jim Al-Khalili’nin ülkemizde Domingo Yayınevi tarafından yayınlanan Paradoks adlı kitabından. Konunun meraklılarının okumasını öneriyorum.

Blok evreni anlamak için uzay-zamanı bir dikdörtgen prizma olarak düşünün. 3 boyutlu uzayı 2 boyutlu, 4 boyutlu zamanı ise 2 boyutlu olarak gösteriyoruz.

Şimdi bu bloklardan birden fazla olduğunu düşünün. Zaman makinesi solucan deliği açarak bizim bloğumuzun (evrenimizin) değil başka bir bloğun (evrenin) geçmişine gitmemizi sağlar. Bu yüzden bizim evrenimizin geçmişini değiştiremeyiz.

Blok evren ve paralel evrenler fikri zaman yolculuğunun bir problemine daha çözüm getiriyor. Normalde zaman yolculuğu fikri kütlenin korunumu kanunu ile çelişir, çünkü kütlenin korunumu kanununa göre madde yoktan var olamaz. Ama siz örneğin zaman makinesiyle on dakika geriye giderseniz. sizden aynı anda iki tane olur. Ancak paralel evrende geriye gitmişseniz diğer evrenin geçmişi ile bizim evrenimizin şimdiki zamanı çakıştığı için çokluevrendeki madde kütlesi değişmemiş olur.

Peki eğer zaman yolculuğu mümkünse şöyle bir soru doğuyor: Zaman yolcuları nerede? Bu sorunun pek çok cevabı olabilir. Belki geldiler, ama geleceğin değişmesinden korktukları için belli etmiyorlar. Belki de gelemediler çünkü insan medeniyeti zaman makinesini icat edecek kadar yaşayamadı.

Belki de zaman yolculuğu aslında imkansızdır…

Bertrand’ın Kutusu Paradoksu

Şimdiki paradoksumuz bir yalancı paradoks. Yani aslında paradoks oluşturan bir durum yok, yalnızca oluşan durum sezgilerimize ters olduğu için bir paradoks olduğunu düşünüyoruz. Yalancı paradokslar da “doğru-çıkarımlı” ve “yanlış-çıkarımlı” olarak ikiye ayrılıyor. Yanlış-çıkarımlı paradoksların anlatımında bir yerde bir kelime oyunu veya hile vardır. Eğer dikkatli takip ederseniz hilenin nerede olduğunu çözebilirsiniz. Doğru-çıkarımlı paradokslarda ise herhangi bir hile yoktur, ancak doğanın tuhaflıkları sayesinde sezgilerimize aykırı bir sonuca ulaşırız.

Bertrand’ın Kutusu yanlış çıkarımlı bir paradoks, bu yüzden metni dikkatle takip edin ve hilenin nerede olduğunu bulmaya çalışın. Tabii isterseniz çalışmayadabilirsiniz. Ama bence şansınızı bir deneyin, eğlenceli olacak.

Elimizde birbirinin aynısı iki bölmeli üç kutu var. Şekildeki gibi bölmelerin içindeki kağıtlarda X veya Y yazıyor. Şimdi size rastgele bir kutu seçsek XY kutusunu seçme olasılığımız nedir diye sorsam tabii ki 1/3 dersiniz. Şimdi bir kutu seçtiğimizi ve bir bölmesine baktığımızı düşünelim. X çıkarsa YY kutusu olamayacağı için kutunun XY olma olasılığı 1/2 olur. Ama Y çıkarsa da o kutunun XY olma ihtimali 1/2 olur.Yani ne olursa olsun XY kutusunu seçme ihtimalimiz 1/2’dir.

Ne dersiniz? Gerçek bir paradoks gibi değil mi? Bunun nasıl olduğunu anlayabildiniz mi? Eğer üstüne biraz düşündüyseniz (tabii uğraşmak istemediyseniz de sizi suçlamam) çözüme geçebiliriz.

Tabii ki seçtiğimiz kutunun ihtimali her durumda 1/3. Eğer ilk baktığımız bölmeden X çıkarsa bu XX bölmesinin X’lerinden biri veya XY’nin X’i olabilir. XX’in X’i olma ihtimali XY’nin X’i olma ihtimalinin 2 katıdır. YY’yi elediğimiz için seçtiğimiz kutunun XX olması ihtimali 2/3 olmuş, XY olma ihtimali 1/3 kalmıştır. Y çıkarsa da aynı şekilde YY çıkma ihtimali 2/3 olacak, XY çıkma ihtimali 1/3 kalacaktır.

Başka paradokslarla haftaya görüşmek üzere, mutlu kalın.