Möbius Şeridi: Bir Kâğıt Nasıl Sınırsız Yüzeye Sahip Olabilir?

Möbius Şeridi, iki yüzü olan sıradan bir kağıt şeridini yarım tur kendi etrafında bükerek uçlardan birleştirme yoluyla elde edilebilecek, sıra dışı bir tek yüzlü yüzeydir. Möbius Şeridi’nin tek yüzlü olması ve ortadan kesildiğinde iki şeride bölünmek yerine tek şerit olarak kalması gibi ilgi çekici geometrik özellikleri vardır. Her ne kadar ilk bakışta öyle gelse de aslında Möbius Şeridi sonsuz değildir; sonlu bir yüzey alanına sahiptir; sadece 1 boyutta sınırsız bir uzunluğa sahiptir.

Daha teknik/geometrik tanımıyla Möbius Şeridi, 3 boyutlu Öklidyen uzayda tek bir yüzü olan ve sadece 1 tane sınır eğrisi bulunan bir yüzeydir.[2] Daha iyi anlayabilmeniz için bu tanımdaki terimleri taksonomik olarak ayıracak olursak:

• Öklidyen uzay, ilkokulda ve lisede öğrendiğimiz, 3 boyutlu temel geometrik uzaydır. Genellikle xxx, yyy ve zzz koordinatlarıyla ve üzerindeki herhangi bir nokta da (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) olarak tanımlanır.
• Sınır, bir topolojik uzayın alt kümesi olan S kümesi içindeki noktalar kümesidir. Bu noktalara hem S üzerinden hem de S dışından yanaşmak mümkündür.
• Topolojik uzay, kapalılığı tanımlanmış olan ama bir nümerik uzunluk ile ölçülemeyebilecek olan geometrik uzaylardır. Daha spesifik olarak topolojik uzaylar, bir dizi noktanın ve bu noktaların komşularının, o noktalar ve komşuluklarla ilgili bir dizi aksiyomu tatmin ettiği nokta kümesidir.
• Yüzey, 2 boyutlu bir manifold olarak tanımlanır.
• Matematikte manifold, yerel olarak Öklidyen uzayı andıran topolojik yüzeylerdir.

Bu bakımdan Möbius Şeridi, iki kenarından da yaklaşıldığında bütün noktalarına erişebileceğiniz, Öklidyen uzayı yansıtan, 2 boyutlu bir yüzeye sahip olan özel bir geometri olarak tanımlanabilir.[3] Bunun şaşırtıcı tarafı şudur: Bir kağıt parçasını aldığınızda, o kağıdın 2 yüzü olduğu için, örneğin kenarların 4’ünden başlayarak ulaşabileceğiniz 2 farklı “orta nokta” vardır. Biri kağıdın bir yüzünde, diğeriyse diğer yüzünde yer alır. Ama aynı kağıdı alıp, Möbius Şeridi’ne dönüşecek biçimde katlayacak olursanız, bu 2 yüzlü kağıdı tek 1 yüze indirgeyebilirsiniz. Böylece aynı kağıt, 4 değil 2 kenara sahip olacaktır ve bu kenarların her ikisinden de başlayarak, Möbius Şeridi üzerindeki herhangi bir noktaya ulaşmanız mümkün olur (kağıdın “yönünü” değiştirmeye gerek kalmaksızın; yani kağıdın kenarlarından geçmek zorunda olmaksızın).

Möbius Şeridi, günümüzden 160 yıl kadar önce, August Möbius tarafından geliştirilmiş olan özel bir geometridir (bir diğer Alman matematikçi olan Johann Benedict Listing de, August Möbius’tan bağımsız olarak aynı geometriyi geliştirmiştir). Bu ikili, Möbius Şeridi’nin mucitleri olarak sayılmazlar; çünkü bu geometriye 1600 yıllık Roma mozaiklerinde de rastlanmaktadır. Ayrıca Möbius Şeridi, oryante edilemez en basit yüzeydir. Bu şu anlama gelir: Eğer Möbius şeridinde herhangi bir noktadan başlayıp, şerit boyunca yürüyecek olursanız, başladığınız noktaya nazaran ayna simetrinize ulaşmış olursunuz. Bunu, aşağıdaki asimetrik yengeçle görmeniz mümkündür:

Möbius Şeridi Nasıl Oluşturulur?

Bir kağıt, bir makas, biraz bant ve bir kalem kullanarak kendiniz de bir Möbius Şeridi oluşturabilirsiniz. Ancak Möbius Şeridi oluşturmaya giden ara basamakları anlamak, Möbius Şeridi’ni anlamayı kolaylaştıracaktır. O nedenle adım adım ilerleyelim.

Katlamadan Birleştirme: Öncelikle makası kullanarak kağıdınızı ince uzun bir şerit olacak biçimde kesiniz. Eğer kestiğiniz kağıdın uçlarını, kağıdı hiç kıvırmaksızın birleştirecek olursanız, pek ilginç bir şekil elde etmezsiniz: Elde ettiğiniz 0 rakamına benzer olan şeklin hâlen iki yüzü vardır ve bu kâğıdı tam ortasından ikiye kesecek olursanız, bağımsız 2 halka oluşturduğunu görürsünüz.

1 Tam Tur Katlayarak Birleştirme: Eğer kağıdın uçlarını birleştirmeden önce kağıdı 1 tam tur katlayacak olursanız, yani uçlardan birini kendi etrafında 360 derece döndürecek olursanız, ilginç bir sonuç elde etmeye başlarsınız: Elde ettiğiniz kağıt bu defa 8 rakamına benzer; ancak halen 2 yüzü vardır. Bunu anlamak için kağıdın herhangi bir yerinden başlayıp, kaleminizi hiç kaldırmadan, ortası boyunca bir çizgi çekebilirsiniz; başladığınız noktaya geldiğinizde, yüzlerden birine asla ulaşamadığınızı görürsünüz (onu da çizmek için kaleminizi kaldırmanız gerekir). Kağıdı ortadan ikiye kestiğinizde, yine 2 halka elde edersiniz ama bu defa halkalar iç içe geçmiş hâldedir.

Möbius Şeridi Elde Etmek İçin Yarım Tur Katlayın: Son olarak, kağıdı birleştirmeden önce 1 tur değil, yarım tur (180 derece) döndürmeyi deneyebilirsiniz. İşte bu defa, önceki iki versiyondan çok daha farklı bir geometri elde edersiniz:[1] Bu kağıdın 2 değil, artık sadece 1 yüzü vardır. Bunu görmek için, yine kaleminizi kaldırmadan bir noktadan çizmeye başlayabilirsiniz; bu defa göreceğiniz şey, başladığınız noktaya döndüğünüzde eskiden 2 yüz olan her iki tarafa da tek seferde değebildiğiniz olacaktır. Bu kağıdı ortasından kesecek olursanız, bu defa 2 tane halka değil, sadece 1 tane halka elde edersiniz. İşte bu bir Möbius Şeridi’dir.

İşin şaşırtıcı tarafı, bir karınca bu şerit üzerinde yürüyecek olsaydı, tıpkı yukarıda gösterdiğimiz yengeç gibi sol/sağ yönünde dönerdi. Şeridi katlarken saat yönünde veya saat yönünün tersinde katlama yaparak, sol-elli Möbius Şeridi veya sağ-elli Möbius şeridi elde edebilirsiniz.

Möbius Şeridi’nin bir diğer şaşırtıcı özelliği, ortadan tek bir kesik atmak yerine 2 kesik atmaktır: Bu durumda 1 tanesi Möbius Şeridi olan, diğeri Möbius Şeridi olmayan 2 farklı halka elde edersiniz.

Möbius Şeridi Ne İşe Yarar?

Her ne kadar ilk etapta sıradan bir geometrik numaradan ibaret gibi gelse de, Möbius Şeridi’nin gerçek dünyada bazı uygulamaları mevcuttur: Örneğin devasa Möbius Şeritleri, taşıma kayışlarında (kayışlı konveyörlerde) kullanılmaktadır; çünkü bu sayede şeridin her iki yüzü de eşit miktarda aşınmaya maruz kalarak şeridin kayışın ömrünü uzatmak mümkün olmaktadır. Benzer şekilde, kayıt yapmakta kullanılan kasetlerde kayıt şeridi Möbius Şeridi şeklinde yerleştirilebilmektedir; böylelikle kayıt süresi 2 katına çıkarılabilmektedir.

Elektronikte de Möbius Şeridi uygulamalarına rastlamak mümkündür: Örneğin Möbius Direnci olarak bilinen bir direnç, kendi indüktif direncini sıfırlayabilmektedir. Bu sayede bu dirençler, herhangi bir manyetik girişime sebep olmaksızın üzerinden elektrik akması mümkün olmaktadır. Buna benzer bir teknoloji, 1894 yılında Nikola Tesla tarafından patentlenmiştir: Tesla, kablosuz elektrik iletimi için geliştirdiği Elektromıknatıslar İçin Bobin patentinde, Möbius Şeridi’nden faydalanmıştır.

Möbius Şeridi, Müzik Teorisi‘nde de kullanılmaktadır: Geometrik olarak Möbius Şeridi iki düzensiz noktanın konfigürasyon uzayı olduğu için, müzikte de tüm ikili notalar (“diyadlar”) bir Möbius Şeridi geometrisinde bulunurlar. Bu sayede Müzik Teorisi’nde (özellikle de orbifoldlar alanında) yeni keşiflerin önü açılabilmektedir.